📖 ଅଧ୍ୟାୟ ୨ — ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଣାଳୀ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ ସହ।
ଅଧ୍ୟାୟ ୨ — ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ
📌 ୧. ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ କ'ଣ?
ଅଜ୍ଞାତର ସର୍ବାଧିକ ଘାତ ୨ ଥିବା ସମୀକରଣ: ax² + bx + c = 0 (a≠0)। ଏହାର ସର୍ବଦା ଦୁଇଟି ମୂଳ ଥାଏ।
🧮 ୨. ସମାଧାନ ପ୍ରଣାଳୀ (ଉଦାହରଣ)
(କ) ଉତ୍ପାଦକ (Factorization): x²−5x+6=0 → 6ର ଉତ୍ପାଦକ ଯାହା ଯୋଗ −5 (−2,−3): x²−2x−3x+6=0 → x(x−2)−3(x−2)=0 → (x−2)(x−3)=0 → x=2 ବା 3।
(ଖ) ସୂତ୍ର (Formula): 2x²−7x+3=0 (a=2,b=−7,c=3) → x=(7±√(49−24))/4=(7±5)/4 → x=3 ବା 1/2।
x = ( −b ± √(b²−4ac) ) / 2a
🎯 ୩. ପ୍ରଭେଦକ D = b²−4ac
| D ର ମାନ | ମୂଳର ପ୍ରକୃତି |
|---|
| D > 0 | ଦୁଇ ବାସ୍ତବ ଓ ଅସମାନ ମୂଳ |
| D = 0 | ଦୁଇ ବାସ୍ତବ ଓ ସମାନ ମୂଳ |
| D < 0 | ମୂଳ ଅବାସ୍ତବ (କାଳ୍ପନିକ) |
ଉଦା: x²−4x+4=0 → D=16−16=0 → ମୂଳ ସମାନ (x=2,2)।
🔗 ୪. ମୂଳ ଓ ସହଗ ସମ୍ପର୍କ
ମୂଳ α, β ହେଲେ: ସମଷ୍ଟି α+β = −b/a · ଗୁଣଫଳ αβ = c/a
ମୂଳରୁ ସମୀକରଣ: x² − (α+β)x + αβ = 0
ପାଟୀଗାଣିତିକ: ଦୁଇ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ 168 → x(x+2)=168 → x²+2x−168=0 → (x+14)(x−12)=0 → x=12 → ସଂଖ୍ୟା 12, 14।
🧠 ମନେରଖ: ପ୍ରଥମେ ଉତ୍ପାଦକ ଚେଷ୍ଟା, ନ ହେଲେ ସୂତ୍ର। ମୂଳ ସମାନ ⟹ D=0। ମୂଳ ବାସ୍ତବ ⟹ D≥0।
⭐ ପରୀକ୍ଷାରେ: ① ଉତ୍ପାଦକ/ସୂତ୍ର (ଉଦାହରଣ)। ② D ଦେଖି ମୂଳ ପ୍ରକୃତି (ସାରଣୀ)। ③ α+β=−b/a, αβ=c/a। ④ ପାଟୀଗାଣିତିକ।