Chapter 3: Arithmetic Progression (Algebra)

ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟାୟ ୩: ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି

Mathematics · Odisha Board Class 10 · ୨୦ ପ୍ରଶ୍ନ · ୨୫ Quiz

📖 ଅଧ୍ୟାୟ ୩ — ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି: ସୂତ୍ର ଓ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଦାହରଣ ସହ।

ଅଧ୍ୟାୟ ୩ — ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.)

📌 ୧. A.P. କ'ଣ?

ଯେଉଁ ଅନୁକ୍ରମରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ପଦର ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର ରହେ, ତାହା ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (ଉଦା: 2,5,8,11 — ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d=3)। ପ୍ରଥମ ପଦ=a, ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d=tₙ−tₙ₋₁।

🧮 ୨. ମୁଖ୍ୟ ସୂତ୍ର

n-ତମ ପଦ: tₙ = a + (n−1)d
n ପଦର ଯୋଗ: Sₙ = n/2 [2a+(n−1)d] = n/2 (a+l) (l=ଶେଷ ପଦ)

ଉଦା 1: 5,8,11,... ର 10ମ ପଦ → a=5, d=3 → t₁₀=5+(10−1)×3=5+27=32।

ଉଦା 2: 2+4+6+... 50 ପଦ ଯୋଗ → S₅₀=50/2[2×2+(50−1)×2]=25[4+98]=25×102=2550।

ଉଦା 3: କେଉଁ ପଦ 100? 4,7,10,... a=4,d=3 → 4+(n−1)3=100 → n=33ମ ପଦ।

📐 ୩. ମଧ୍ୟକ ଓ ଅନ୍ୟ ସୂତ୍ର

a ଓ b ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ = (a+b)/2 · tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ · 1+2+…+n = n(n+1)/2

🎯 ୪. ପଦ ବାଛିବା କୌଶଳ

୩ ପଦ: a−d, a, a+d ଧର (ଯୋଗ=3a, ସହଜ)। ୪ ପଦ: a−3d, a−d, a+d, a+3d ଧର।

🧠 ମନେରଖ: tₙ=a+(n−1)d, Sₙ=n/2[2a+(n−1)d]। ୩/୪ ପଦ ବାଛିବା କୌଶଳ। tₙ=Sₙ−Sₙ₋₁।

⭐ ପରୀକ୍ଷାରେ: ① tₙ, Sₙ ସୂତ୍ର (ସାଂଖ୍ୟିକ)। ② ୩/୪ ପଦ ବାଛିବା। ③ ମଧ୍ୟକ=(a+b)/2। ④ tₙ=Sₙ−Sₙ₋₁।

📘 Textbook Question Answers

୧ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(a) — ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ସଠିକ ଉତ୍ତର ବାଛ (t୍ₙ, d, ମଧ୍ୟମ ପଦ)

ସୂତ୍ର: A.P. ର n-ତମ ପଦ tₙ = a + (n−1)d ; ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର d = ଯେକୌଣସି ପଦ − ତାହାର ପୂର୍ବ ପଦ।

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) 1,2,3,4,... ରେ t₈

ବୁଝାମଣା:

a=1, d=1t₈ = 1+7(1) = 8।

ଉତ୍ତର: (c) 8

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) 2,4,6,8,... ରେ t₇

ବୁଝାମଣା:

a=2, d=2t₇ = 2+6(2) = 14।

ଉତ୍ତର: (b) 14

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) −5,−3,−1,1,... ରେ t₁₁

ବୁଝାମଣା:

a=−5, d=2t₁₁ = −5+10(2) = 15।

ଉତ୍ତର: (b) 15

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) 3,6,9,... ର d

ବୁଝାମଣା: d = 6−3 = 3।

ଉତ୍ତର: (a) 3

ପ୍ରଶ୍ନ: (v) −4,−2,0,2,... ର d

ବୁଝାମଣା: d = −2−(−4) = 2।

ଉତ୍ତର: (c) 2

ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) 10.2,10.4,10.6,10.8,... ରେ t₅

ବୁଝାମଣା:

a=10.2, d=0.2t₅ = 10.2+4(0.2) = 11.0।

ଉତ୍ତର: (a) 11.0

ପ୍ରଶ୍ନ: (vii) 2.5,2.9,3.3,3.7,... ର d

ବୁଝାମଣା: d = 2.9−2.5 = 0.4।

ଉତ୍ତର: (d) 0.4

ପ୍ରଶ୍ନ: (viii) 3, x, 9,... A.P. ହେଲେ x

ବୁଝାମଣା: x = ମଧ୍ୟମ ପଦ = (3+9)/2 = 6।

ଉତ୍ତର: (c) 6

ପ୍ରଶ୍ନ: (ix) 1.01,1.51,2.01,2.51,... ର d

ବୁଝାମଣା: d = 1.51−1.01 = 0.5।

ଉତ୍ତର: (b) 0.5

ପ୍ରଶ୍ନ: (x) 5,0,−5,−10,... ର d

ବୁଝାମଣା: d = 0−5 = −5।

ଉତ୍ତର: (a) −5

୨ପ୍ରଶ୍ନ ୨: କେଉଁ ଅନୁକ୍ରମ A.P.?

A.P. ହେବା ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ପଦର ଅନ୍ତର ସମାନ (constant d) ହେବା ଆବଶ୍ୟକ।

ପ୍ରଶ୍ନ: କେଉଁ ଅନୁକ୍ରମ A.P.?

ବୁଝାମଣା:

(ii) 1,8,15,22,29,36,43,50d=7 (ସ୍ଥିର) ; (vi) a,a+d,...,a+7dd ସ୍ଥିର ; (viii) −7,−4,−1,2,5,8,11,14d=3 (ସ୍ଥିର)। ବାକି (i),(iii),(iv),(v),(vii) ରେ ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।

ଉତ୍ତର: A.P. ହେଲା (ii), (vi), (viii)

୩ପ୍ରଶ୍ନ ୩: A.P. ର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଶ୍ନ ୨ ର A.P. ଗୁଡ଼ିକର ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର

ବୁଝାମଣା: (ii) d = 8−1 = 7 ; (vi) d = d ; (viii) d = −4−(−7) = 3।

ଉତ୍ତର: (ii) 7, (vi) d, (viii) 3

୪ପ୍ରଶ୍ନ ୪: a=5 ନେଇ ପ୍ରଥମ ଚାରି ପଦ

a=5 ନେଇ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ = ପୂର୍ବ ପଦ + d।

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) d=5

ବୁଝାମଣା: 5, 10, 15, 20

ଉତ୍ତର: 5, 10, 15, 20

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) d=4

ବୁଝାମଣା: 5, 9, 13, 17

ଉତ୍ତର: 5, 9, 13, 17

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) d=2

ବୁଝାମଣା: 5, 7, 9, 11

ଉତ୍ତର: 5, 7, 9, 11

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) d=−2

ବୁଝାମଣା: 5, 3, 1, −1

ଉତ୍ତର: 5, 3, 1, −1

ପ୍ରଶ୍ନ: (v) d=−3

ବୁଝାମଣା: 5, 2, −1, −4

ଉତ୍ତର: 5, 2, −1, −4

୫ପ୍ରଶ୍ନ ୫: tₙ ଦିଆଥିଲେ t₅, t₈, t₁₀

tₙ ସୂତ୍ରରେ n = 5, 8, 10 ପକାଇ t₅, t₈, t₁₀ ବାହାର କରାଯାଏ।

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) tₙ = (n+1)/2

ବୁଝାମଣା: t₅=3, t₈=4.5, t₁₀=5.5

ଉତ୍ତର: t₅=3, t₈=4.5, t₁₀=5.5

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) tₙ = −10+2n

ବୁଝାମଣା: t₅=0, t₈=6, t₁₀=10

ଉତ୍ତର: t₅=0, t₈=6, t₁₀=10

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) tₙ = 10n+5

ବୁଝାମଣା: t₅=55, t₈=85, t₁₀=105

ଉତ୍ତର: t₅=55, t₈=85, t₁₀=105

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) tₙ = 4n−6

ବୁଝାମଣା: t₅=14, t₈=26, t₁₀=34

ଉତ୍ତର: t₅=14, t₈=26, t₁₀=34

୬ପ୍ରଶ୍ନ ୬: a ଓ d ନେଇ A.P. ଗଠନ

a ଓ d ନେଇ 2ୟ, 3ୟ, 4ର୍ଥ ପଦ = a+d, a+2d, a+3d।

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) a=4, d=3

ବୁଝାମଣା: 7, 10, 13

ଉତ୍ତର: 2ୟ=7, 3ୟ=10, 4ର୍ଥ=13

ପ୍ରଶ୍ନ: (ii) a=−8, d=−2

ବୁଝାମଣା: −10, −12, −14

ଉତ୍ତର: −10, −12, −14

ପ୍ରଶ୍ନ: (iii) a=7, d=−4

ବୁଝାମଣା: 3, −1, −5

ଉତ୍ତର: 3, −1, −5

ପ୍ରଶ୍ନ: (iv) a=10, d=5

ବୁଝାମଣା: 15, 20, 25

ଉତ୍ତର: 15, 20, 25

ପ୍ରଶ୍ନ: (v) a=½, d=3/2

ବୁଝାମଣା: 2, 7/2, 5

ଉତ୍ତର: 2, 7/2, 5

ପ୍ରଶ୍ନ: (vi) a=½, d=−1

ବୁଝାମଣା: −½, −3/2, −5/2

ଉତ୍ତର: −½, −3/2, −5/2

୭ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(a) — ପ୍ରଶ୍ନ ୭: ଠିକ୍ ବା ଭୁଲ ଲେଖ

A.P. ପାଇଁ କ୍ରମିକ ପଦର ଅନ୍ତର ସ୍ଥିର ହେବା ଆବଶ୍ୟକ (ଏହା ଆଧାରରେ ଠିକ୍/ଭୁଲ ନିର୍ଣ୍ଣୟ)।

ପ୍ରଶ୍ନ: (a) 1,2,3,4,... ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି ସୃଷ୍ଟି କରେ।

ବୁଝାମଣା: d=1 ସ୍ଥିର।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (b) 1,−1,1,−1,... ଏକ A.P.

ବୁଝାମଣା: ଅନ୍ତର −2,+2,... ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (c) 2,1,−1,−2 ଚାରିଗୋଟି A.P. ରେ ଅଛନ୍ତି।

ବୁଝାମଣା: ଅନ୍ତର −1,−2,−1 ସ୍ଥିର ନୁହେଁ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (d) tₙ = n−1 ଥିବା ଅନୁକ୍ରମ A.P.

ବୁଝାମଣା: d=1 ସ୍ଥିର।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (e) Sₙ = n(n−1)/2 ଥିବା ଅନୁକ୍ରମ A.P.

ବୁଝାମଣା: tₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ = n−1 (ସ୍ଥିର d=1)।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (f) ତ୍ରିଭୁଜ କୋଣ 2:3:4 ⟹ କୋଣମାନ A.P.

ବୁଝାମଣା:

40°,60°,80°ଅନ୍ତର 20° ସ୍ଥିର।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (g) ସମକୋଣୀ (equilateral) ତ୍ରିଭୁଜ ବାହୁ A.P. ରେ ରହିପାରେ।

ବୁଝାମଣା:

ସମାନ ବାହୁd=0 ର A.P.।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (h) ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା A.P. ଗଠନ କରନ୍ତି ନାହିଁ।

ବୁଝାମଣା:

1,3,5,7,... d=2A.P. ଅଟେ, ତେଣୁ ଉକ୍ତି ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

ପ୍ରଶ୍ନ: (i) 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଗଣନ ସଂଖ୍ୟା A.P.

ବୁଝାମଣା: 5,10,15,20,... d=5।

ଉତ୍ତର: ଠିକ୍

ପ୍ରଶ୍ନ: (j) 5,x,9 A.P. ରେ ⟹ x=6

ବୁଝାମଣା: ଠିକ୍ ମାନ x=(5+9)/2=7, ତେଣୁ x=6 ଭୁଲ।

ଉତ୍ତର: ଭୁଲ

୮ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(a) ଖ-ବିଭାଗ — ପ୍ରଶ୍ନ ୮: ଶ୍ରେଣୀର ଯୋଗଫଳ (Sₙ)

ଖ-ବିଭାଗ: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]।

(a) 1+2+3+… ର S₃₀

S₃₀

30/2 [2(1) + 29(1)]

a=1, d=1

S₃₀

15 × 31

465

(b) 1+3+5+… ର S₁₀

S₁₀

10/2 [2(1) + 9(2)]

a=1, d=2

S₁₀

5 × 20

100

(c) 2+4+6+… ର S₁₅

S₁₅

15/2 [2(2) + 14(2)]

a=2, d=2

S₁₅

15 × 16

240

(d) 1−2+3−4+… ର S₃₀

(1−2) + (3−4) + …

(−1) × 15

30 ପଦ = 15 ଯୋଡ଼ି

−15

(e) 1−2+3−4+… ର S₄₁

S₄₁

(−1) × 20 + 41

20 ଯୋଡ଼ି + 41ତମ ପଦ

(f) 1+1+2+2+3+3+… ର S₁₇

S₁₇

2(1+2+…+8) + 9

8 ଯୋଡ଼ି + 9ତମ ପଦ

S₁₇

72 + 9

(g) 1+2+3+2+3+4+3+4+5+… ର S₃₉

S₃₉

3(1+2+…+13) + 3×13

13 ଗୋଷ୍ଠୀ, ଗୋଷ୍ଠୀ k = 3(k+1)

S₃₉

3 × 104

312

(h) −7−10−13−… ର S₂₁

S₂₁

21/2 [2(−7) + 20(−3)]

a=−7, d=−3

S₂₁

21 × (−37)

−777

(i) 10+6+2+… ର S₁₅

S₁₅

15/2 [2(10) + 14(−4)]

a=10, d=−4

S₁₅

15 × (−18)

−270

(j) 20+9−2+… ର S₂₅

S₂₅

25/2 [2(20) + 24(−11)]

a=20, d=−11

S₂₅

25 × (−112)

−2800

(k) n+(n−1)+(n−2)+…+1 ର Sₙ

Sₙ

1 + 2 + … + n

ଓଲଟା କ୍ରମ

n(n+1)/2

(l) 5 + 4⅓ + 3⅔ + … ର S₂₀

S₂₀

20/2 [2(5) + 19(−2/3)]

a=5, d=−2/3

S₂₀

10 × (−8/3)

−80/3

୯ପ୍ରଶ୍ନ ୯: a, d, n ବା tₙ ଦିଆଥିଲେ Sₙ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

a, d, n ବା tₙ ଦିଆଥିଲେ Sₙ ନିର୍ଣ୍ଣୟ।

(a) a=3, d=4, n=10 ⟹ Sₙ?

S₁₀

10/2 [2(3) + 9(4)]

Sₙ = n/2[2a+(n−1)d]

S₁₀

5 × 42

210

(b) a=−5, d=−3 ⟹ S₁₇?

S₁₇

17/2 [2(−5) + 16(−3)]

a=−5, d=−3

S₁₇

17 × (−29)

−493

(c) tₙ = 2n−1 ⟹ ପ୍ରଥମ 5 ପଦ

tₙ

2n − 1

n = 1, 2, …, 5

1, 3, 5, 7, 9

(d) tₙ = 3n+2 ⟹ S₆₁

a = 5, d

t₁ = 5, ଅନ୍ତର 3

S₆₁

61/2 [10 + 180]

S₆₁

61 × 95

5795

(e) tₙ = 3n−5 ⟹ S₅₀

a = −2, d

t₁ = −2, ଅନ୍ତର 3

S₅₀

25 [−4 + 147]

S₅₀

25 × 143

3575

୧୦ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(a) — ପ୍ରଶ୍ନ ୯ (f–j): Sₙ ↔ tₙ

Sₙ ↔ tₙ ସମ୍ପର୍କ: tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁।

(f) tₙ = 2−3n ⟹ Sₙ?

a = −1, d

−3

t₁ = −1, ଅନ୍ତର −3

Sₙ

n/2 [−2 + (n−1)(−3)]

ସରଳ କର

Sₙ = n(1−3n)/2

(g) Sₙ = n² ⟹ t₁₅?

tₙ

Sₙ − Sₙ₋₁ = n² − (n−1)²

tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁

tₙ

2n − 1

t₁₅ = 2(15) − 1

t₁₅ = 29

(h) a=3, d=4, Sₙ=903 ⟹ n?

n/2 [6 + (n−1)4]

903

a=3, d=4

2n² + n − 903

ସଜାଅ

ଧନାତ୍ମକ ମୂଳ

n = 21

(i) d=2, S₁₅=285 ⟹ a?

15/2 [2a + 28]

285

d=2, n=15

15(a + 14)

285

a + 14

a = 5

(j) t₁₅=30, t₂₀=50 ⟹ S₁₇?

5d = 20 ⟹ d

t₂₀ − t₁₅ = 5d

a + 14(4) = 30 ⟹ a

−26

S₁₇

17/2 [−52 + 64] = 17 × 6

S₁₇ = 102

୧୧ପ୍ରଶ୍ନ ୧୦: ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ (ଓଲଟାଇ ମିଶାଇବା)

ଗଣନ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = n/2 (ପ୍ରଥମ + ଶେଷ), n = ପଦ ସଂଖ୍ୟା।

(i)(a) 1 ରୁ 105 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ

105 × 106 / 2

n(n+1)/2

5565

(i)(b) 25 ରୁ 93

93 − 25 + 1 = 69

ପଦ ସଂଖ୍ୟା

69/2 (25 + 93) = 69 × 59

4071

(i)(c) 111 ରୁ 222

112

ପଦ ସଂଖ୍ୟା

56 × 333

112/2 (111 + 222)

18648

(ii) 1,2,3,… ର S₂₀ ଓ S₅₀

S₂₀

20 × 21 / 2 = 210

S₅₀

50 × 51 / 2 = 1275

S₂₀ = 210, S₅₀ = 1275

(iii) 32 ରୁ 85 ର ସମଷ୍ଟି

85 − 32 + 1

27 × 117

54/2 (32 + 85)

3159

(iv) 100 ରୁ ଛୋଟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

2 + 4 + … + 98

49 × 50

n = 49

2450

(v) 150 ରୁ ଛୋଟ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା

1 + 3 + … + 149

75 × 75

n = 75

5625

୧୨ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(a) ଗ-ବିଭାଗ — ପ୍ରଶ୍ନ ୧୧–୧୬

ଗ-ବିଭାଗ: ତିନି ପଦ = a−d, a, a+d ; ଛଅ ପଦ = a−5d, …, a+5d ଧରି ସମାଧାନ।

୧୧. a=17, d=−2 ର କେତୋଟି ପଦ ଯୋଗ କଲେ 72?

n/2 [34 + (n−1)(−2)]

a=17, d=−2

n² − 18n + 72

(n−6)(n−12)=0

n = 6 କିମ୍ବା 12

୧୨(i). ତିନି ପଦ A.P. ରେ, ଯୋଗ 18, ଗୁଣ 192

3a = 18 ⟹ a

ପଦ a−d, a, a+d

6(36 − d²)

192

ଗୁଣଫଳ

d²

4 ⟹ d = ±2

4, 6, 8

୧୨(ii). ଛଅ ପଦ A.P., ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ଯୋଗ 16, ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ 63

2a = 16 ⟹ a

ପ୍ରାନ୍ତ ଯୋଗ

a² − d²

ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ

d²

1 ⟹ d = 1

3, 5, 7, 9, 11, 13

୧୩. ତିନି ପଦ A.P., ଯୋଗ 21, ବର୍ଗର ଯୋଗ 155

3a = 21 ⟹ a

ପଦ a−d, a, a+d

3a² + 2d²

155

ବର୍ଗର ଯୋଗ

d²

4 ⟹ d = ±2

5, 7, 9

୧୪. ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ବାହୁ A.P. ⟹ ଅନୁପାତ 3:4:5 ପ୍ରମାଣ କର।

(a−d)² + a²

(a+d)²

ବାହୁ a−d, a, a+d (ପିଥାଗୋରାସ୍)

a²

4ad ⟹ a = 4d

ସରଳ କର

3d : 4d : 5d = 3 : 4 : 5 (ପ୍ରମାଣିତ)

୧୫. 100 ରୁ ଛୋଟ 5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ

5 + 10 + … + 95

19 × 50

n = 19

950

୧୬. 200 ରୁ ଛୋଟ 3 ଦ୍ୱାରା ଅବିଭାଜ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ

(1+…+199) − (3 ର ଗୁଣିତ)

19900 − 6633

ମୋଟ − 3 ର ଗୁଣିତ

13267

୧୩ପ୍ରଶ୍ନ ୧୭–୧୯: ତିନି/ଚାରି ପଦ A.P. ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ତିନି ପଦ = a−d, a, a+d ; ଚାରି ପଦ = a−3d, a−d, a+d, a+3d ଧରି ସମାଧାନ।

୧୭. 15 କୁ ତିନି ଭାଗରେ (A.P.) ବିଭକ୍ତ କର ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 120।

3a = 15 ⟹ a

ପଦ a−d, a, a+d

5(25 − d²)

120

ଗୁଣଫଳ

d²

1 ⟹ d = ±1

4, 5, 6

୧୮. ତିନି ପଦ A.P., ଯୋଗ 15, ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ବର୍ଗ ଯୋଗ 58।

3a = 15 ⟹ a

ପଦ a−d, a, a+d

(5−d)² + (5+d)²

50 + 2d² = 58

d²

4 ⟹ d = ±2

3, 5, 7

୧୯. ଚାରି ପଦ A.P., ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଯୋଗ 8, ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ 15।

2a = 8 ⟹ a

ପଦ a−3d, a−d, a+d, a+3d

a² − d²

ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣ

d²

1 ⟹ d = 1

1, 3, 5, 7

୧୪ପ୍ରଶ୍ନ ୨୦–୨୨: A.P. ପ୍ରମାଣ (Proofs)

ପ୍ରମାଣ କର: ତିନି A.P. ଶ୍ରେଣୀ (ପ୍ରଥମ ପଦ 1,2,3; ଅନ୍ତର 1,2,3) ର n ପଦ ଯୋଗ S₁,S₂,S₃ ⟹ S₁+S₃ = 2S₂।

ପ୍ରମାଣ:

S₁=n(n+1)/2, S₂=n(n+1), S₃=3n(n+1)/2S₁+S₃ = 4n(n+1)/2 = 2n(n+1) = 2S₂।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: A.P. ର p,q,r ତମ ପଦ a,b,c ⟹ a(q−r)+b(r−p)+c(p−q) = 0।

ପ୍ରମାଣ: a=A+(p−1)D ଆଦି ପକାଇଲେ A ର ଗୁଣାଙ୍କ = (q−r)+(r−p)+(p−q) = 0 ଓ D ର ଗୁଣାଙ୍କ ମଧ୍ୟ 0 ହୁଏ।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: a,b,c A.P. ରେ ⟹ (i) 1/bc,1/ca,1/ab (ii) b+c,c+a,a+b (iii) b+c−a,c+a−b,a+b−c ମଧ୍ୟ A.P.।

ପ୍ରମାଣ: (i) abc ରେ ଗୁଣିଲେ a,b,c (A.P.) ; (ii),(iii) କ୍ରମିକ ଅନ୍ତର a−b = b−c ହେତୁ (∵ 2b=a+c)।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

୧୫ପ୍ରଶ୍ନ ୨୩–୨୮: A.P. ପ୍ରମାଣ (Advanced Proofs)

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୩(i). 1/a,1/b,1/c A.P. ଓ a+b+c≠0 ⟹ (b+c)/a,(c+a)/b,(a+b)/c A.P.।

ପ୍ରମାଣ: (b+c)/a = (a+b+c)/a − 1 ; ତେଣୁ ଅନୁକ୍ରମ = (a+b+c)·(1/a,1/b,1/c) − 1, ଯାହା A.P. ର ସ୍ଥିର ଗୁଣନ ଓ ବିୟୋଗ।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୩(ii). a/(b+c),b/(c+a),c/(a+b) A.P. ⟹ 1/(b+c),1/(c+a),1/(a+b) A.P.।

ପ୍ରମାଣ: ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 1 ଯୋଗ କଲେ (a+b+c)/(b+c) ଆଦି A.P. ; (a+b+c) ରେ ଭାଗ କଲେ 1/(b+c),… A.P.।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୪. A.P. ର ପ୍ରଥମ ପଦ a, ଶେଷ ପଦ l ⟹ ଆରମ୍ଭରୁ r-ତମ + ଶେଷରୁ r-ତମ = a+l।

ପ୍ରମାଣ: ଆରମ୍ଭରୁ r-ତମ = a+(r−1)d ; ଶେଷରୁ r-ତମ = l−(r−1)d ; ଯୋଗ = a+l।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୫. ପ୍ରଥମ p ପଦ ଯୋଗ r, ପ୍ରଥମ q ପଦ ଯୋଗ s ⟹ r/p − s/q = (p−q)d/2।

ପ୍ରମାଣ:

r/p = a+(p−1)d/2, s/q = a+(q−1)d/2r/p − s/q = (p−q)d/2।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୭. A.P. ର t_p=q, t_q=p ⟹ t_m = p+q−m।

ପ୍ରମାଣ:

a+(p−1)d=q, a+(q−1)d=pd=−1, a=p+q−1t_m = (p+q−1)+(m−1)(−1) = p+q−m।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

ପ୍ରମାଣ କର: ୨୮. A.P. ର S_m=n, S_n=m ⟹ S_(m+n) = −(m+n)।

ପ୍ରମାଣ: ଦୁଇ ସମୀକରଣ ବିୟୋଗ କରି 2a+(m+n−1)d = −2 ପାଇଲେ, S_(m+n) = (m+n)/2 × (−2) = −(m+n)।

∴ ପ୍ରମାଣିତ।

୧୬ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(b) — ପ୍ରଶ୍ନ ୧: ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ (ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର, A.M.)

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) ; A.M. = (a+b)/2।

(a) 1/(15×16) = ..... − 1/16

1/(15×16)

1/15 − 1/16

1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ = 1/15

(b) 1/(12×11) = 1/11 − .....

1/(11×12)

1/11 − 1/12

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ = 1/12

(c) 1/(n(n+1)) = ..... − 1/(n+1)

1/(n(n+1))

1/n − 1/(n+1)

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ = 1/n

(d) 1/((n+1)n) = 1/n − .....

1/(n(n+1))

1/n − 1/(n+1)

ଅନ୍ତର ସୂତ୍ର

ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ = 1/(n+1)

(e) 5 ଓ 9 ର ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ

A.M.

(5 + 9)/2

(a+b)/2

(f) x ଓ 7 ର A.M. 5 ହେଲେ x

(x + 7)/2

A.M. = 5

x + 7

x = 3

(g) (a+b) ଓ (a−b) ର A.M.

A.M.

((a+b) + (a−b))/2

(a+b)/2

(h) ଦୁଇ ରାଶିର A.M. 11, ଗୋଟିଏ 7 ⟹ ଅନ୍ୟଟି

(7 + x)/2

A.M. = 11

7 + x

x = 15

୧୭ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(b) — ପ୍ରଶ୍ନ ୨: telescoping ଯୋଗଫଳ

1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1) ଲଗାଇ telescoping ଯୋଗ।

(a) 1/(1×2) + 1/(2×3) + … 20 ପଦ

1 − 1/21

telescoping, 20 ପଦ

20/21

(b) 1/(5×6) + 1/(6×7) + … 16 ପଦ

1/5 − 1/21

telescoping, 16 ପଦ

16/105

୧୮ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(b) — ପ୍ରଶ୍ନ ୩: ଗୁଣନ ଶ୍ରେଣୀର tₙ/Sₙ

Σn = n(n+1)/2, Σn² = n(n+1)(2n+1)/6, Σn³ = [n(n+1)/2]²।

(a) 7×15 + 8×20 + 9×25 + … ର tₙ

tₙ

(n+6)(5n+10)

n-ତମ ପଦ

tₙ = 5n² + 40n + 60

(b) 6Σn² + 4Σn³ ର ସରଳୀକୃତ ମାନ

6Σn² + 4Σn³

n(n+1)(2n+1) + n²(n+1)²

Σ ସୂତ୍ର

n(n+1)(n²+3n+1)

(c) 1×2 + 2×3 + … + n(n+1) ର Sₙ ଓ S₂₀

Sₙ

n(n+1)(n+2)/3

tₙ = n(n+1)

S₂₀

20×21×22/3

Sₙ = n(n+1)(n+2)/3, S₂₀ = 3080

(d) 1×3 + 2×4 + 3×5 + … ର tₙ, Sₙ, S₁₀

tₙ

n(n+2) = n² + 2n

n-ତମ ପଦ

Sₙ

n(n+1)(2n+7)/6

Σn² + 2Σn

S₁₀ = 495

୧୯ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(b) — ପ୍ରଶ୍ନ ୪: n ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ

ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ (tₙ) ବାହାର କରି Σ ସୂତ୍ର ଲଗାଇ Sₙ ନିର୍ଣ୍ଣୟ।

(a) 1·1 + 2·3 + 3·5 + 4·7 + …

tₙ

n(2n−1) = 2n² − n

n-ତମ ପଦ

Sₙ = n(n+1)(4n−1)/6

(b) 1·3 + 3·5 + 5·7 + 7·9 + …

tₙ

(2n−1)(2n+1) = 4n² − 1

n-ତମ ପଦ

Sₙ = n(4n²+6n−1)/3

(c) 3·8 + 6·11 + 9·14 + …

tₙ

3n(3n+5) = 9n² + 15n

n-ତମ ପଦ

Sₙ = 3n(n+1)(n+3)

(d) 1 + (1+3) + (1+3+5) + …

tₙ

1+3+…+(2n−1) = n²

n ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ

Sₙ = n(n+1)(2n+1)/6

(e) 1² + 4² + 7² + 10² + …

tₙ

(3n−2)²

n-ତମ ପଦ

Sₙ = n(6n²−3n−1)/2

(f) 2² + 4² + 6² + 8² + …

tₙ

(2n)² = 4n²

n-ତମ ପଦ

Sₙ = 2n(n+1)(2n+1)/3

(g) 1 + 5 + 12 + 22 + 35 + …

tₙ

n(3n−1)/2

n-ତମ ପଦ

Sₙ = n²(n+1)/2

(h) 1² + (1²+2²) + (1²+2²+3²) + …

tₙ

n(n+1)(2n+1)/6

n-ତମ ପଦ

Sₙ = n(n+1)²(n+2)/12

୨୦ଅନୁଶୀଳନୀ ୩(b) — ପ୍ରଶ୍ନ ୫–୧୧: ସମାନ୍ତର ମଧ୍ୟକ (A.M.) ସ୍ଥାପନ

A.M. ସ୍ଥାପନ: a ଓ b ମଧ୍ୟରେ n ଗୋଟି A.M. ⟹ d = (b−a)/(n+1)।

୫. 15 ଓ 27 ମଧ୍ୟରେ (i) ଗୋଟିଏ (ii) ଦୁଇଟି A.M.

(i) A.M.

(15 + 27)/2 = 21

(ii) d

(27 − 15)/3 = 4

2 A.M. ⟹ n+1 = 3

(i) 21 (ii) 19, 23

୬. 12 ଓ 36 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇ (ii) ତିନି A.M.

(i) d

(36 − 12)/3 = 8

(ii) d

(36 − 12)/4 = 6

(i) 20, 28 (ii) 18, 24, 30

୭. 6 ଓ 46 ମଧ୍ୟରେ (i) ଦୁଇ (ii) ଚାରି A.M.

(i) d

(46 − 6)/3 = 40/3

(ii) d

(46 − 6)/5 = 8

(i) 58/3, 98/3 (ii) 14, 22, 30, 38

୮. 5 ଓ 65 ମଧ୍ୟରେ (i) ତିନି (ii) ପାଞ୍ଚ A.M.

(i) d

(65 − 5)/4 = 15

(ii) d

(65 − 5)/6 = 10

(i) 20, 35, 50 (ii) 15, 25, 35, 45, 55

୯. 11 ଓ 71 ମଧ୍ୟରେ ପାଞ୍ଚ A.M.

(71 − 11)/6 = 10

5 A.M. ⟹ n+1 = 6

21, 31, 41, 51, 61

୧୦. 20 ଓ 80 ମଧ୍ୟରେ n ଗୋଟି A.M., ପ୍ରଥମ:ଶେଷ = 1:3 ⟹ n?

(20 + d)/(80 − d)

1/3

ପ୍ରଥମ A.M. : ଶେଷ A.M. = 1:3

60/(n + 1)

d = (80−20)/(n+1)

n = 11

୧୧. ଚାରି ପଦ A.P., ଯୋଗ 2, ପ୍ରାନ୍ତ ଦୁଇର ଗୁଣ = ମଧ୍ୟ ଦୁଇର ଗୁଣର 10 ଗୁଣ।

4a = 2 ⟹ a

ପଦ a−3d, a−d, a+d, a+3d

¼ − 9d²

10(¼ − d²)

ପ୍ରାନ୍ତ ଗୁଣ = 10 × ମଧ୍ୟ ଗୁଣ

3/2

−4, −1, 2, 5